podskup S \ subseteq X za koji je \ left \ vert N \ left (S \ right) \ right \ vert \ lt \ left \ vert S \ right \ vert, pa po Hallovu teoremu slijedi da savršeno sparivanje u G \ left (X, Y \ right) ne postoji.
da za skup S = R \ cap X vrijedi \ left \ vert N \ left (S \ right) \ right \ vert \ lt \ left \ vert S \ right \ vert, pa po Hallovu teoremu zaključujemo da ne postoji savršeno sparivanje u bipartitnom grafu G \ left (X, Y \ right), a po Teoremu 12 da je
, pa po Hallovu teoremu zaključujemo da ne postoji savršeno sparivanje u bipartitnom grafu G \ left (X, Y \ right), a po Teoremu 12 da je sparivanje M maksimalno sparivanje u G.
, algoritam također staje. Uočite da vrijede i obrati tih tvrdnji: ako se ravnina ne može popločati, po Wangovom teoremu postoji prirodan broj m takav da se ne može popločati ni m m kvadrat. Ako se pak ravnina može popločati periodično, tako
de Fermat (1601. - 1665.), francuski pravnik i matematičar iz hobija koji je ostao najpoznatiji po velikom Fermatovom teoremu , tek nedavno dokazanom. Veliki Fermatov teorem tvrdi da za prirodne n > 2 jednadžba x n y n = z n nema rješenja (x, y, z)
često se nazivaju Arhimedovim blizancima, očigledno zbog jednakog radijusa, koji ćemo odrediti u sljedećem teoremu .
. teoremu 1.3.
nisu kolinearne, ABCD je paralelogram. Kako se paralelni pravci preslikavaju u paralelne pravce (što ćemo dokazati u teoremu 2 (c)), tako je i A 1 B 1 C 1 D 1 također paralelogram, pa je A 1 B 1 = C 1 D 1. Ako su točke A, B, C, D kolinearne, uzmimo točke E i F
. U zadatku su očito "u igri" samo omjeri na pravcima i konkurentnost, osobine koje afina transformacija čuva (prema teoremu 2). U skladu s teoremom 4, možemo dani trokut transformirati u jednakostranični i u njemu dokazati tvrdnju zadatka.
. teoremu 5, svaki paralelogram može se afinom transformacijom transformirati u kvadrat. Dovoljno je trokut ABC
, na primjer teoremu 5.12. Potrebno je naći stacionarne i kritične točke po definiciji 5.5, odnosno potrebno je odrediti područje
smo u prethodnoj točki izračunali prvu derivaciju, intervale monotonosti određujemo promatrajući predznake od po teoremu 5.11.
naći točke u kojima druga derivacija mijenja predznak, odnosno točke koje ispunjavaju dovoljne uvjete infleksije po teoremu 5.17. Za provjeru dovoljnih uvjeta infleksije možemo koristiti i više derivacije po teoremu 5.18. U tom slučaju
uvjete infleksije po teoremu 5.17. Za provjeru dovoljnih uvjeta infleksije možemo koristiti i više derivacije po teoremu 5.18. U tom slučaju potrebno je prvo naći točke u kojima je druga derivacija jednaka nuli, odnosno točke koje
prvo naći točke u kojima je druga derivacija jednaka nuli, odnosno točke koje zadovoljavaju nužan uvjet infleksije po teoremu 5.16.