Zdaj, ko smo si ustvarili prvo sliko o foliacijah, lahko razmislimo, v kakšni zvezi sta integrabilni podsveženj tangentnega svežnja in foliacija mnogoterosti.

Vsaka foliacija nam porodi integrablini podsveženj tangentnega svežnja.

Vsak integrabilen podsveženj tangentnega svežnja nam namreč porodi foliacijo.

Vemo že, da je za homomorfizem vektorskih svežnjev konstantnega ranga njegova slika vektorski podsveženj.

To je res podsveženj, saj ima globalno ogrodje.

Poglejmo si dve preprosti trditvi, ki nam bosta olajšali preverjanje involutivnosti za podsveženj tangentnega svežnja.

Ortogonalni komplement je zelo pomembna konstrukcija, saj lahko z njim podsveženj razširimo do prvotnega svežnja.

Naslednja trditev nam bo povedala, kako lahko za množico vektorskih podprostorov vektorskega svežnja preprosto preverimo, ali sestavljajo vektorski podsveženj.

Najprej si poglejmo, kako lahko podsveženj tangentnega svežnja podamo z diferencialnimi formami.

Najosnovnejša konstrukcija vektorskega svežnja je zagotovo vektorski podsveženj.

Določi nam potreben pogoj, ki ga mora izpolnjevati podsveženj tangentnega, zato da določa foliacijo.

V primeru 4.5 je bil povsem integrabilen podsveženj tudi integrabilen.

V primeru 4.12 je bil integrabilen podsveženj tudi involutiven.

Tudi to je gladek podsveženj od ξ (glej stran 28 v [6]).

Prav tako lahko strukturo kontaktne podmnogoterosti η < ξ|K razumemo kot simplektični podsveženj.

Primer 4.13 nam skupaj s Frobeniousovem izrekom pove, da vsak podsveženj tangentnega svežnja ni integrabilen.

Prišli smo do protislovja, torej res noben holomorfen podsveženj ranga n − 1 holomorfnega svežnja T CP n ni integrabilen.

Dokazali bomo, da noben holomorfen podsveženj ranga n − 1 holomorfnega svežnja T CP n ni integrabilen.

V = ker dπ je gladek podsveženj svežnja T P in je trivialen.

Če namreč podsveženj E ne zadošča zvezi (7.4), potem podsveženj E ′ ne more obstajati.